Zusammenfassung

 

Motto Johannes Buridan: Quaestiones super De caelo II, 20 Tunc diceremus quod convenientius est salvare apparentias per pauca quam per multa, si hoc aeque bene fieri. Also möchten wir sagen, daß es angemessener ist, die Erscheinungen [eher] durch wenige als durch viele Argumente zu retten - sofern sich das ebenso gut bewerkstelligen läßt.

Spätestens seit Pedro Nunes (1537) oder Gerhard Mercator (1541) wußte das Zeitalter, daß die Rhumben, die der Kompaß anzeigt,

paradoxerweise keine Geraden, sondern zweifach gekrümmte Kurven  sind - Snellius nannte sie später "Schiefläufige", "Loxodrome". Noch 1956 war E.G.R.Taylor der Meinung, der "Paradoxe Kompaß", den John Dee 1557 "erfunden" hatte und den er zum ersten Mal in seinem Vorwort zum "Englischen Euklid" von Billingsley 1570 erwähnt, müßte ein Instrument sein,  in das Dee eine nordpolständige Projektion der Erde eingelegt habe. Als E.G.R.Taylor 1963 den "Canon gubernauticus" des John Dee - der sich als Manuskript in der Bodleiana befindet - herausgab, enthielt sie sich jeden - auch mathematischen - Kommentars, verwunderte sich aber über den immensen Durchmesser der nordpolständigen Karte von „50 ynches diameter“. Nun ist der "Paradoxe Kompaß" aber nichts anderes als ein System von Tafeln, das für die "klassischen" Rhumben von = 11.25° bis = 78.75° von 0° bis 80° Breite Grad für Grad die Funktionen  in der Gestalt  der Tripel  tabelliert und somit nichts anderes als eine "klassische" Strichtafel darstellt.  Die Tafelwerte sind von Dee i.a. mit einer solch bewundernswerten Genauigkeit berechnet worden, daß sich sofort die Frage nach den mathematischen Grundlagen der Rechnungen stellt:  Es läßt sich zeigen, daß John Dee mit den gleichen elementaren mathematischen Hilfsmitteln gerechnet hat, mit denen Gerhard Mercator zwölf Jahre später seine Weltkarte AD USUM NAVIGANTIUM konstruiert hat. Wäre John Dee an der Konstruktion einer neuen Kartenform interessiert gewesen, statt ausschließlich das kompaßgerechte Segeln lehren zu wollen, er hätte die 1569er-Konstruktion seines kontinentalen Freundes Mercator vorwegnehmen können ... ;  hätte Dee L nur ein wenig anders tabelliert, die Geschichte der Meridionalteile müßte neu geschrieben werden ...

Zusammenfassung - Ende -

Einführung

Das Manuskript liegt mir seit dem 2. Juni 1999 in seiner Gesamtheit als Photoprint der Bodleiana / Oxford vor

Die Tafeln wurden zuerst - und ohne jeden mathematischen Kommentar - abgedruckt in 

E.G.R.Taylor: A Regiment for the Sea by William Bourne of Gravesend, a gunner (1535-1582)
Cambridge 1963 - Published for the Hakluyt Society - Appendix A [S.419ff]

In ihrer Einleitung zum Tafelwerk Dee's schreibt Frau Taylor 1963: "... and the reference to a diameter of 50 inches suggests the dimensions of the polar projection upon which he considered the rhumbs could best be plotted, failing a globe. This would, however, make a very unwieldy chart." - woraus resultiert, daß Frau Taylor den "paradoxen Kompaß" nicht als das System der Tafeln des Canon Gubernauticus erkannt hat.

	In eben diesem Vorwort zum Paradoxall Compass ist Frau Taylor - zusammenfassend - der Auffassung, "the table represents Dr Dee's attempt to solve the problem of the plain chart which ignores the convergence of the merdians".(S.416)
Dennoch: Die von John Dee ?avisierte Karte hätte schließlich nur die Größenordnung der Weltkarte von 1569 gehabt, deren nordpolständige abstandstreue Karte des Hohen Nordens - In septentrionis descriptionem - Dee später in seinem Besitz hatte. Im Cotton Manuskript Vitellius C.VII, folio 264 v., - 8. Juni 1577 - , heißt es "he [Gerhard Mercator] fasshioned unto us that strange plat of the Septentrionall Islands" - "of my earnest request to him".
	Um 1582 zeichnete Humphrey Gylbert offenbar nach Notizen von John Dee eine der Karte In Septentrionis descriptionem nachempfundene azimutale abstandstreue Polarkarte, die bis  = 20°N reichte und ein mögliches Gelingen einer NW-Passage vorspiegelte. Ob Dee 1556/7 eine derartige - 50 ynches Æ große - Karte im Auge gehabt hat?

Als ich zum ersten Mal im "englischen Euklid" die betreffende Stelle las, wurde mir aus dem Text ebensowenig wie Frau Taylor oder Frau Fell - in ihrem Buche über John Dee, 1909, klar, worum es sich eigentlich beim "paradoxall compasse" / bei den "paradoxall compasses" handelt:

Euclid A.j.(v) spricht Dee davon, was ein Master Pilote neben seinen fundierten Kenntnissen in Hydrographie, Astronomie, Astrologie (!), Horometrie, Arithmetik und Geometrie alles an Gerätschaften und Tabellen noch zu beherrschen und mitzuführen habe - if nede be sogar selber müsse anfertigen können : 

• einen Quadranten, 
• einen Astronomischen Ring, 
• einen Astronomischen Kreuzstab, 
• ein Universelles Astrolab.

Mit sich habe er zu führen: 

• An Hydrographicall Globe, 
• Charts Hydrographicall, true, (not with parallel Meridians). 
• The Common Sea Compass : 
• The Compas of variacion : 
• The Proportionall, and 
• Paradoxall Compasses (of me Inuented, for our two Moscouy Master Pilotes, at the request of the Company). 

Dee schreibt zuerst einmal von Paradoxall Compasses - in der Mehrzahl. Sollte ein Master Pilot mehrere Instrumente dieser Art mit sich führen? Zweifel waren angesagt, erst recht aber beim vorletzten Punkt.
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• Clockes with spryng: houre, halfe houre, and three houre
• Sandglasses :
• &sundry other Instrumentes :
• And also, be hable. on Globe, or Playne to describe the Paradoxall Compasse: and duely to vse the same, to all maner of purposes, whereto it was inuented. 

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Sollte der paradoxe Kompaß (Einzahl) mit Hilfe eines Erdglobus' oder einer Plattkarte beschrieben | dargestellt werden können / müssen? 
Guter Rat war teuer bis 1998.
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• And also, be hable to Calculate the Planetes places for all tymes ....

Nun wurde mir schlagartig klar, was es mit dem "Paradoxicall Compasse" von 1557 auf sich hat: 

Die "Richtungstafel" des John Dee enthält für jeden "klassischen Rhumb" (n · 11.25°, n = 1..7) die "klassischen" Strichtafeln in der Gestalt von Koordinatentripeln als Punkten einer directio = Loxodrome, die vom Äquator in Rhumbenrichtung voranschreitet.

John Dee hat damit - soweit mir jetzt bekannt ist - zum ersten Mal die Tafeln berechnet, mit Hilfe deren man in der Lage ist, die Mercatorschen Loxodromen des Erdglobus von 1541 "in globo | in plano delineare" , d.h. sowohl auf den Globus als auch auf die Plattkarte aufzubringen: on Globe, or Playne to describe the Paradoxall Compasse) -  mit Nunes (1566) zu sprechen: 

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Es wäre - bei Bekanntwerden der Dee'schen Tafeln - nunmehr jedermann möglich gewesen, die Loxodromen des Globus 1541 auf jeden beliebigen, mit hinreichend vielen Längen- und Breitenkreisen versehenen Globus aufzubringen oder - erst recht - in jede beliebige (See-)Karte - mit parallelen Längen und Breiten oder nicht: true or false - einzutragen.
 

An der Richtungstafel - der Gesamtheit aller sieben - läßt sich aber auch sogleich das völlig von Gerhard Mercators Vorstellungen (-1569ff) verschiedene Interesse John Dee's (1557ff) feststellen: 

• Dee will lehren, wie man von  korrekt unter dem Rhumb k segelnd nach  kommt, d.h. die Paradoxie der gekrümmten kompaßorientierten Kurse in allen vorhandenen Seekarten - ob nach Marinus oder nach Ptolemäus - erklärlich zu machen, aufzuheben und somit "Störungen" bei den Piloten zu beseitigen. Er steht damit voll in der Tradition der "Strichtafeln", wie sie z.B. aus dem Regimento, von Enciso oder Nunes überliefert sind, mit dem einen Unterschied allerdings, daß die Strichtafeln die gesegelten Rhumbenstrecken auf die jeweiligen Längendifferenzen abbilden.
• Mercator dagegen will eine neue Plattkarte liefern, in der jede Richtung von  korrekt als gerader Weg eingetragen werden kann, so daß von vornherein bei den pilotierenden Seeleuten gar keine "Störungen" auftreten (können). Daß seine Karte ad usum navigantium es darüber hinaus möglich macht, die nautischen Aufgaben der Piloten mit | in seiner neuen Karte aufzulösen, zeigt das erstaunlicherweise -?scheinbar - ?viel weiter gehende generelle Verständnis für die Probleme der Hochseeschiffahrt bei ihm, obgleich sein Freund Dee - inzwischen zum adviser der Muscovy Company avanciert - auch dafür hätte Lösungen anbieten können | sollen | ?müssen. 

2. Das Neben- und Miteinander der so unterschiedlichen Ansätze bei John Dee und Gerhard Mercator führt mich zu folgenden Überlegungen:
 

Das Ashmolean Manuscript fols. 139r-154v wollte John Dee dem zweiten Buche seiner General and Rare Memorials of the Perfect Arte of Navigation - seiner Kommentare und Ergänzungen zu Martin Cortes' La Arte de Navigar (1551) - einverleiben; - geschrieben wurden es vermutlich im Jahre 1576. 

Der umfängliche Titel dieses Buches sollte lauten: "A great volume, in which are contained our Queene Elizabeth her Arithmeticall Tables Gubernatick: for Navigation by the Paradoxall Compass (by me invented anno 1557) and Navigation by Great circles; and for longitudes and latitudes, and the variation of the Compass, finding most easily and speedily : yea (if need be) in one minute of time, and sometime, without sight of Sun, Moone or Star: with many other new and nedeful inventions Gubernatick." 

• Die Texte wurden nie veröffentlicht.

3. Es ist durchaus verständlich: Anders als sein Freund Gerhard Mercator war John Dee als Berater der Muscovy Company  nicht an der Herstellung einer "korrekten" Karte ad usum navigantium interessiert, sondern vielmehr an "richtigen" Anweisungen zum "korrekten Kompaßsegeln" - mit Hilfe welcher Karten auch immer. 

Daß die "alte" Plattkarte nicht zum korrekten Kompaßsegeln tauglich war, das hatten John Dee und Gerhard Mercator offenbar schon längst bei den Besuchen Dee's im Löwen der Jahre 1547/1548ff. diskutiert, - schließlich nahm John Dee nach seinem ersten Besuch 1547 zwei Erdgloben Gerhard Mercators von 1541 mit zurück nach Cambridge - zum Nutzen und Frommen der Gelehrten wie der Studenten der Geographie dort: "left to the use of the Fellows and Scholars of Trinity College". 

Die directiones des Erdglobus

- über ihre "Erfindung" und ihre erstmalige "delineatio" auf dem Globus wird man in Löwen fleißig gesprochen haben -

Die - spätere - "neue Abbildungsart" seines Löwener Freundes aus dem Jahre 1569 - das muß ?leider festgestellt werden - hat John Dee weder begriffen

• die Methode Mercators ist ihm wie allen Zeitgenossen für ein Vierteljahrhundert unbegriffen geblieben

Er wollte ganz einfach keine "andere" Seekarte - ad usum navigantium emendate et accommodata - berechnen, sondern die Navigatoren der Muscovy Company lehren, wie man das dead = deduced reckoning - das Koppeln der Bestecke - , mit dem Kompaß segelnd, korrekt ausführt. Sein Ansatz ist daher grundsätzlich verschieden von dem Gerhard Mercators, - wie wir dann auch in der Rekonstruktion seiner Tafel methodisch erfahren werden, wenngleich ?seine Methode auch für eine Überraschung gut ist.
 
 

4. Da er inzwischen - d.h. nach 1550 - mit Pedro Nunes in Kontakt getreten war, mag ihm Nunes über die Andeutungen von 1533/37 hinaus mitgeteilt haben, daß die so schwer zu fassenden "paradoxen Rhumben" sich doch eigentlich durch einen approximierenden Umgang mit Großkreisstücken in den Griff bekommen lassen müßten, - ein Verfahren, das er - Nunes - demnächst in seinen Gesammelten Abhandlungen in einer besonderen Abhandlung Über die Kunst und das Regelwerk der Navigation propagieren werde, wobei er allerdings die Auffüllung des betreffenden Canons den jüngeren unter den Mathematikern (?seiner Schule in Coimbra) überlasse.

Pedro Nunes realisierte diese ?Mitteilung an John Dee in der Tat dann auch im Jahre 1566 bei der Herausgabe seiner gesammelten Werke. In den Petri Nonii Salaciensis opera, Basilae 1566, findet sich der Traktat De arte atque ratione navigandi , in dessen Kapitel XXVI er den Satz (propositum) behandelt "globum rumbis delineare" (wie man die Rhumben (Loxodromen) auf dem Globus darstellt). Das Rhumbentafel-Schema auszufüllen, überläßt er in der Tat jüngeren Scholaren ... .

Dazu bedurfte es eines Canons, einer Richtungstafel, aus dem | aus der der Pilot die zutreffenden Angaben - ohne rechnen zu müssen: yea (if need be) in one minute of time, and sometime, without sight of Sun, Moone or Star - (!!!) entnehmen konnte : 
 

Frage an John Dee:
Wenn ich z.B. vom 20. Breitengrad im 1.Rhumb Nord ten oosten - der flandrischen Windrose entsprechend - zum 21. Breitengrad "hinauf"segele, - wie groß ist dann die gesegelte östliche Längendifferenz?

Dee's Canon gibt die Antwort: 
..., dann bist du  - natürlich ohne Berücksichtigung von Winddrift und Strömung - um 12' 40'' nach Osten abgekommen.

5. Es stellt sich daher die Frage: 

Ist denn das Tabellenwerk des paradoxall compas des John Dee aus den Jahren 1557/1558 - wie es im Ashmolean Manuskript 242 fols. 139r-154v von 1576 vorliegt - in der Tat 

gemessen an den Möglichkeiten und mit den Hilfsmitteln der späteren loxodromischen Trigonometrie kontrolliert

eine Art organum directorium - wenn auch nicht geometrisch-konstruktiver Art wie 1569 bei Gerhard Mercator , sondern tabellarisch-berechneter Art? 

- abgesehen von "Ausreißern" 
a) bei Rhumbenrichtungen jenseits von 45°
b) bei Breiten jenseits von 70° N | S.

Betrachten wir zunächst den Ansatz der loxodromen Trigonometrie, die heutigentags die Gleichung der Kugelloxdromen wie folgt darstellt:
 

Wie muß die Plattkarte konstruktiv verändert werden, damit in jeder Breite die vera similitudo vel ratio - die wahre Ähnlichkeit oder das wahre Verhältnis - zum Äquator eingehalten wird ?

1. Erst das folgende Jahrhundert ist in der Lage, die Funktion ln ( tan ) auszuwerten. 
Z.B. war Gerhard Mercators holsteiner Namensvetter Nicolaus Mercator  1666ff an dieser Entwicklung beteiligt.
2. Das Auftreten des Faktors tan (  ) stimmt uns schon auf das approximative Vorgehen John Dee's ein, - wie wir sehen werden.

6. Werfen wir jetzt einen (ersten) Blick auf den Canon des John Dee für  = 78.75° :
 

Die Dee'sche "resolute" entspricht der Längendifferenz , die "continuates" sind nichts anderes als die fortscheitenden Summen der "resolutes".

Es ist schon hier festzuhalten, daß der Canon Dee's offenbar höchsten Ansprüchen genügt:

Entscheidend für die Genauigkeit der Dee'schen continuate-Spalten ist dabei die Genauigkeit der Werte in den resolute-Spalten: 

• Die Fehler der resolutes pflanzen sich von Grad zu Grad in den continuates fort. 

so ist zuerst einmal festzustellen, daß auch hier bei der Rekonstruktion eine Übereinstimmung - wie bei der Theorie - "bis auf eine Sekunde genau" - vorliegt. 

Es  ist die also Frage gestattet, 

• ob das von mir angewandte rekonstruktive Verfahren - auf dem Boden und nur auf dem Boden der von Dee beherrschten Mathematik - d.h. der Arithmetik und Trigonometrie des Jahrhunderts - das Rechenverfahren für die Dee'schen resolutes selbst ist?

Daß aber selbst in der größten Breite (80°) die Abweichungen in den Resoluten gelegentlich  "nur"
 

betragen, sind dennoch Indizien besonderer Art.

Wer sich die vergleichenden Tafeln Dee : Theorie : Rekonstruktion genauer vor Augen führt, erkennt natürlich, daß in allen Tafeln einige - höchstens durch Rechenungenauigkeiten erklärbare "Ausreißerdaten" vorkommen. Die erstaunlichste Folge von Abweichungen kommt dabei im 7.Rhumb (78.75°) vor. 

• Kurz bevor John Dee die Beziehungen auf der achtzigsten Breite bis auf 3'' genau berechnet, liegen für die Breiten 77°-79° unerklärbare Abweichungen von über 2000'' , 0.55°, vor.

Mit Hilfe eines PASCAL-Programms kann sich der interessierte Leser schnell für jeden Rhumb einen Überblick über die Unterschiede zwischen Dee, Theorie und Rekonstruktion verschaffen. Die Unterschiede sind in Sekunden ausgewiesen. 
Am Ende werden jeweils die mittleren einfachen Abweichungen ("Fehler"), die mittleren quadrastischen Abweichungen sowie die Streuung der Abweichung um die einfache mittelere Abweichung angegeben. 

Wird nicht "mein" Navigator benutzt, so müssen die *.txt-files mit heruntergeladen werden.

8. Wie aber läßt sich Dee's Ansatz gemäß Abschnitt 3 rekonstruieren? 

Ob mit Unterstützung durch Nunes oder nicht :

• Wer sich mit der Situation der Hochseeschiffahrt des 15. und 16. Jhs vertraut gemacht, 
• zumindest Gerhard Mercators Ansatz von 1541 zur Kenntnis genommen, 
• über das Segeln auf Großkreisen nachgedacht und 
• sich darüber hinaus zu trigonometrischen Rechnungen befähigt hatte, 
• der konnte zu den folgenden Vorstellungen voranschreiten:

• Er konnte das Kugeldreieck CDE als hinreichend klein ansehen und den Versuch wagen, die bekannt-gekrümmten Kugelgrößen CD, DE und EC von der Kugel als gerade Strecken in die plane Ebene zu übertragen (delineare). Allerdings,

• während er DE ?leicht ?exakt ( » 22/7) rektifizieren kann: DE = 2 / 360, 
• muß er bei der Rektifizierung von CD =  · cos(  ) mit einem (größeren) Fehler rechnen. 

• Er macht diesen Fehler aber hinreichend klein, wenn er die folgenden Gesichtspunkte berücksichtigt:

 
• Als (fortschreitenden) Breitenunterschied - wie bei John Dee selbst | wie bei Gerhard Mercator 1569 - wählt er z.B. "nur" 1°. 
• Er wendet darüber hinaus die Methode der Mittelbreiten an, wie sie - im 16.Jh.allgemein und von Gerhard Mercator im Besonderen geübt - schon von Ptolemäus 1400 Jahre früher vorgeschlagen wurde.

Ich halte fest: 

• John Dee hat gewiß nicht mit einer sec-Tafel gearbeitet; das war aber auch nicht nötig, da er die Kunst des Dividierens offenbar gut beherrschte.
• Der kugelgeometrische Ansatz, der sich auf die Berechnung - hinreichend kleiner - rechtwinkliger Kugeldreiecke stützt, - durchaus denkbar bei John Dee - führt auf die gleiche Formel für : 

• Ohne Zweifel hätte John Dee bis zur Konstruktion einer Karte ad usum navigantium im Sinne seines Freundes Gerhard Mercator leicht vordringen können - wohlgemerkt: das lag offenbar nicht in seiner Absicht - , wenn man bedenkt, daß sich hinter dem Ausdruck DE · sec(- 0.5°) keine anderen als die vergrößerten Marinusbreiten verbergen, d.s. Mercators vergrößerte Breiten BC der Weltkarte von 1569: 

• Der Marinus-Breite d entspricht - konstruktiv, hier in differentieller Schreibung - die Mercator-Breite dy = sec() · d BC

Probieren wir einige Werte aus: 

• DE = 0.0174533 
• = 78.75° 
• = 1° führt zu 
• ° =  5° 1' 39'' (Dee: 5° 1' 39'')

• = 5° führt zu
• ° = 5° 2' 34''  (Dee: 5" 2' 35'')

• = 80° führt zu
• ° = 27° 35' 13'': Dee hat 27° 36' 31'', die Theorie liefert 27° 36' 28''.

Ich gehe also davon aus, daß damit - der Rest ist Rechnung bzw. Statistik - die Methode des Canon Gubernauticus von John Dee aus den Jahren 1557ff. rekonstruiert ist.
 
 

9. Stellen wir zum Schluß die auf den einzelnen Tafeln ausgewiesenen Beziehungen zwischen den Dee'schen Tafelwerten, den Werten der loxodromen Trigonometrie wie der Rekonstruktion nach den Mittelwerten m und ihrer stochastischen Streuung s systematisch zusammen.
 

Da in den Breiten größer als 70° N | S etliche "Ausreißer" die über weite Strecken geradezu fabelhafte Übereinstimmung - im wahrsten Sinne des Wortes "sagenhafte" Übereinstimmung der Dee'schen Ergebnisse | Rechnungen mit denen der loxodromen Trigonometrie wie der hier versuchten Rekonstruktion - "stören": ?Flüchtigkeitsfehler, ?Rechenfehler, habe ich die vergleichenden Untersuchungen sowohl auf die Breiten von 1° bis 80° als auch auf die Breiten allein von 1° bis 70° erstreckt.

Der geneigte Leser mag sich dann selbst von der Großartigkeit des Dee'schen Tafelwerkes wie von den ?marginalen Schwächen einzelner Rechnungen überzeugen.
 
 

Zum Verständnis sei noch einmal an den Werten für den siebten Rhumb erläutert:

Die Abweichungen der Dee'schen Werte von denen der Theorie belaufen sich (hier) "im Mittel" auf -91", d.h. sie sind im Mittel kleiner als die Werte der Theorie.
Innerhalb der dreifachen Streuung von rund 27' (3·534'') liegen nahezu 99% aller Abweichungen im Falle aller Breitengrade von 1° bis 80° um den Mittelwert von -1' 31" "verstreut". 

Betrachtet man die Verhältnisse nur bis zum 70. Breitengrad, so verbessern sich die Maßverhältnisse wie angezeigt: "im Mittel" weichen die Dee'schen Werte von denen der Theorie um -1'' ab, sie schwanken in 99% aller Fälle höchstens um 1' (3·21'') um diesen Mittelwert.

• Die Rekonstruktion geht von 1°-Differenzen aus, die Theorie von "unendlichkleinen", die sie beliebig genau bis zu einem Grad aufsummiert. In der Summe muß sie daher im allgemeinen die Werte der Rekonstruktion - in deren Beschränkung auf die "endliche" Differenz von 1° - übertreffen. 

10. Eine letzte Überprüfung und einen letzten Vergleich: kann ich / man leider nicht durchführen:

Welche geometrischen Vorstellungen haben den Rechnungen John Dee's letztlich zugrunde gelegen ?

Es bleibt (aber) dabei:

Die Statistik ist überzeugend - wie bei den Konstruktionen zur Weltkarte 1569 - ; eine letzte Sicherheit ist bis auf weiteres nicht gegeben, weder bei John Dee noch bei Gerhard Mercator, - was sich eigentlich jeweils ohne weitere Findung von Quellen von selbst versteht.

12. Anhand des von mir favorisierten Ansatzes  mag sich der interessierte (und in der Dreiecksrechnung versierte) Leser davon überzeugen, daß auch die Lösungen der navigatorischen Aufgaben, die vom loxodromischen Längenbegriff Gebrauch machen, durchaus ohne allzu große Beschwerden möglich sind, denn Dee scheint seine Tafeln auch dafür berechnet zu haben: duely to vse the same, to all maner of purposes, whereto it was inuented.
Im verallgemeinerten (1° || Dj) "Dee'schen Dreieck"CDE - s.v.v. - auf der Kugel mit dem 
 

Radius r = 1

gilt:

s =

Für  r= R_Erde liefert diese "Näherungsrechnung" die exakte Gleichung

Wenn man davon ausgeht, daß John Dee die chief pilotes gewiß gelehrt hat, wie man mit der Funktion (Tafel)  und mit dem Erdradius proportionally geeignet umgeht, und wenn Dee dabei 1 legua als Recheneinheit zugrunde legte, brauchten die Piloten nur die Proportion

nach s [in Leguen] aufzulösen. 
Nehmen wir als Beispiel: 

Ein Schiff segele im 4.Strich = 45° von 38°N hinauf nach 40°N.
Wie lang ist die gesegelte Strecke?

(® Canon Tafel 4)

- was mit unserem Strichtafelbeispiel - in den Grenzen der Fehler dieser frühen Tafeln - gut zusammen stimmt.