Das Resultat 

Formulieren wir im Kontext der Konstruktionen Gerhard Mercators derartige Aussagen! 

Für die Fläche des "beliebigen" Dreiecks MCF gilt: 
12. 
. 

Des weiteren gilt für das Dreieck MSF der Satz des Pythagoras: 

13. 
. 

Für den Flächeninhalt des "beliebigen" einbeschriebenen Dreiecks MAD gilt wegen der analogen Anwendung des Satzes 7

14. 

d.h. 

15. 

Für das "letzte" Dreieck mit an gilt dann insbesondere: 

16. 
Mit 
17. 

folgt am Ende: 

18. 

Ein "hübsches" Resultat, das nunmehr nicht mehr durch das Anschauen, sondern eben durch das Rechnen zeigt, daß Gerhard Mercator auf dem richtigen Wege war: 1/4n ( und damit die Differenz A - a ) "strebt mit größer werdendem n gegen 0", d.h. a und A "streben" in einer rein "rationalen" Argumentation "gegen" den achten Teil des Flächeninhalts des Einheitskreises. QED.