1. Setzen wir voraus, daß wir in unserem Unterricht 

• als Mathematiklehrer daran interessiert sind, über die Elemente der Abbildung der Erde auf die plane Ebene zu unterrichten

• als Erdkundelehrer den Auftrag haben, über die prinzipiellen Schwierigkeiten, 
• das Bild der Erde als Karte zu entwerfen, 

WHAT I CANNOT CREATE, I DON'T UNDERSTAND,

sagt Richard Feyman auf dem Boden eines radikalen Konstruktivismus - den auch ich vertrete.

2. Dies hat zur Folge, daß wir uns über die didaktische Probleme eines solchen Unterrichts oder Auftrags im klaren sein müssen, bevor wir an die methodische Umsetzung des didaktisch strukturierten Objektbereichs KARTENENTWÜRFE gehen können.

3. Wir haben uns also zuerst um die didaktische Struktur des Objektbereichs KARTENENTWÜRFE zu kümmern.

• weder heutzutage im allgemeinen als Mathematiklehrer hinreichend viel von den mathematischen Grundlagen der allgemeinen Kartenkunde wissen, 
• noch daß wir heutigentags in der Ausbildung zum Erdkundelehrer mit den betreffenden Grundlagen ausreichend - wenigstens inhaltlich - bekanntgemacht werden bzw. bekanntgemacht worden sind.

Verschaffen wir uns daher einen ausreichenden Überblick, um erkennen zu können, daß wir

1. ohne Zweifel: exemplarisch vorgehen müssen, dann aber doch
2. eine Chance haben, am Beispiel wenigstens eines historischen Nachvollzugs der Geschichte eines Kartenentwurfs das prinzipielle Anliegen der Kartenentwurfslehre methodisch in den Griff zu bekommen.

Um dabei überhaupt eine - unterrichtliche - Chance zu haben, idealisieren wir das Geoid zu einer Kugel:
 

A. Lassen sich Längen, Entfernungen, Abstände auf der Kugel verhältnisgleich in der Ebene nachbilden? D.h. ist eine betreffende Abbildung "längentreu"? 

• Teilweise? 
• Stets?

• D.h. ist die betreffende Abbildung winkeltreu oder konform?

• D.h. ist die betreffenden Abbildung „flächentreu"?

Bekanntlich lassen sich auf diese Fragen die folgenden Antworten geben:
 

• Ad A. Es ist unmöglich, eine Kugel unter Beibehaltung der Längenverhältnisse zu "planieren".

C.F.Gauß hat die Unmöglichkeit einer überall längentreuen Abbildung der Kugel in die Ebene mit seinem berühmten THEOREMA EGREGIUM nachgewiesen: Nur Flächen gleichen Krümmungsmaßes lassen sich längen-verhältnis-treu auf eineinander abbilden.
 

Nun hat die Einheitskugel das Gaußsche Krümmungsmaß l, die plane Ebene aber das Krümmungsmaß 0: quod non...

Natürlich: dieser Satz schließt nicht aus, daß für gewisse Richtungen und Kurven die Maßverhältnisse der Kugel identifizierend in die Ebene übernommen werden können.
Derartige Abbildungen werden dann spezifisch "abstands-" oder auch "längen-" oder "abweitungstreu" genannt.
 

• "Azimutale" Karten haben z.B. solche Eigenschaften. 
• Die klassische Weltkarte nach Ptolemäus - seine Generalkarte in 2. Projektionsart - hat drei abweitungstreue Breitenkreise.
• Die von Gerhard Mercator 1578 veröffentlichte Generalkarte besitzt alle 10° abweitungstreue Breitenkreise...

• Ad B. Wir kennen alle die aus dem Altertum stammende azimutale "stereographische" Abbildung der Kugel auf die Ebene (Hipparch):

Eine winkeltreue Zylinderabbildung zu erfinden, stellte sich dem 15. und 16. Jahrhundert als Aufgabe, denn das Kompaß-orientierte Segeln der Entdecker auf hoher See machte eine Karte dieses Typs unbedingt erforderlich.

Wir werden sehen: 

die Lösung der letzten Aufgabe liegt in Mercators Projektion.

• Ad C. Ohne eigentlich davon zu wissen, hat schon Ptolemäus eine flächenverhältnis-erhaltende Abbildung empfohlen: seine sogenannte "zweite Kegelprojektion" erwies sich im 18. Jahrhundert auf dem Standpunkt der mathematischen Kartenkunde als eine flächentreue Abbildung. Wieder-erfunden wurde seine Projektion im 16. Jahrhundert von Stab - angewandt von seinem Schüler Werner - ; ihre Mathematisierung gelang dem Franzosen Bonne1752.

Eine flächentreue Zylinderabbildung hatte zwar schon Archimedes entworfen, aber da seine Abbildungsvorschriften verloren gegangen sind, kommt dem deutsche Mathematiker Lambert der Ruhm zu, eine erste flächentreue Zylinder-Abbildung konstruiert zu haben.

Lamberts Karte ist im 20.Jahrhundert die Mutter der PETERS-Karten geworden, obgleich Peters davon offenbar nichts weiß - oder nichts wissen will. Später mehr davon.

Teilen wir zunächst den Objektbereich KARTENENTWÜRFE nach den drei implizit schon eingeführten Merkmalen ein :

• Es soll uns HIER dabei nicht interessieren, daß aus der Kegelabbildung die beiden anderen Abbildungstypen als Grenzfälle hergeleitet werden können.

Daß Kegel und Zylinder überhaupt als Karten-Zwischenträger benutzt werden können, liegt darin begründet, daß beide Flächen wie die plane Ebene das Gaußsche Krümmungsmaß 0 besitzen.

Unter dem erwähnten dreiteiligen Einteilungsprinzip gliedern sich die Kartenprojektionstypen wie folgt:
 

Nimmt man eine weitere Einteilung nach der Linienart der Kartenmeridiane und -parallelen vor, so unterscheidet man ECHTE von UNECHTEN Entwürfen: 
 

• Sind bei normaler Lage der Entwurfsachse - senkrecht zur Äquatorebene - die Bilder der Längenkreise Geraden und die Bilder der Breitenkreise entweder Geraden oder (konzentrische) Kreise, so heißen die Entwürfe oder Projektionen "echt" [= e], sonst "unecht" [= u]. 

Unechte Entwürfe eignen sich für Erdkarten oder auch für große Ausschnitte der Erdoberfläche.

Der bekannteste unechte Entwurf - heute nach Bonne (1752) genannt - hat eine jahrtausendalte Geschichte:
 
 

ÜBRIGENS: Ob wir "Entwurf "oder "Projektion" sagen, ist so ziemlich belanglose Deutschtümelei - um sich von den Franzosen zu unterscheiden. "Projektionen" der  Darstellenden Geometrie (mit ihrer Perspektive) vorzubehalten, "Entwürfe" aber der allgemeinen Kartenlehre zuzurechnen, ist mathematisch wenig sinnvoll, da es sich in beiden Fällen - abgesehen von singulären Punkten - um eineindeutige Zuordnungen von Kugelpunkten zu Punkten der Ebene (umkehrbaren Abbildungen) handelt.