Aber Gerhard Mercator wäre nicht Gerhard Mercator gewesen,
.
hätte er nicht über ein Verbesserung des Ungefähr nachgedacht.

Bekümmert hat ihn ganz offenbar, daß es ihm nicht gelang, das "Ungefähr" durch ein "Gleich" zu ersetzen, und er beschloß, sein Konstruktionsverfahren nicht zu veröffentlichen. 

Es dauerte daher auch gut 25 Jahre, bis junge englische Mathematiker sich in der Lage sahen, Tabellen zu berechnen, mit denen dann die Konstruktion von Mercator-Karten geleistet werden konnte. (Wer mehr darüber wissen will, der muß in der unten angegebenen Literatur nachsehen.)

INZWISCHEN habe ich herausgefunden, daß der mit Mercator befreundete englische Mathematiker John Dee schon 1557 eine Möglichkeit ersonnen hatte, die Beziehungen zwischen den Längen und Breiten rechnerisch nachzuvollziehen: J.Dee war seinerzeit zum Berater der Muscowy-Company "aufgestiegen" und sollte die Steuerleute Ihrer Majestät Marine lehren, selbst mit Hilfe von Plattkarten "Kompaß-korrekt" zu segeln. (Vgl. die betreffende Abhandlung.)
Das Prinzip seines Freundes Mercator hat John Dee selber nicht verstanden: für ihn waren 1570 noch Seekarten mit gekrümmmten Längen und Breiten - nach Maßgabe des Ptolemäus - die "wahren" Seekarten.  Aber er ja wollte auch keine neue Seekarte entwerfen, sondern allein die Steuerleute das korrekte Kompaß-Segeln lehren.
Gerhard Mercator sind anstelle eines "exakten Beweises" zwei Verbesserungsmöglichkeiten eingefallen:
Die erste bestand darin, die Winkeldifferenz a möglichst klein zu machen, so daß sie gerade noch vernünftig zu zeichnen war. Vermutlich hat er a = l° gesetzt. Von Grad zu Grad in Einerschritten voranzugehen, das schien ihm schon das Richtige zu sein. 
Untersucht man die "vergrößerten Breiten", die Gerhard Mercator zum ersten Mal 1569 in seine Weltkarte "ad usum navigantium" - zum Gebrauch für die Seefahrer - eingezeichnet hat, Grad um Grad auf der Weltkarte, die sich schon seit dem 16. Jh. in Basel befindet und seit langem im Besitz der Universitätsbibliothek von Basel ist, so ist man überrascht, wie genau Gerhard Mercator gezeichnet hat. Und das wird verständlich, wenn man seine zweite Verbesserung betrachtet:
Er verbesserte die Konstruktion seiner Dreiecke dadurch, daß er beim Zeichnen ein Verfahren anwandte, das die Seeleute schon immer angewandt haben: 
Segelt ein Schiff von einer Breite b zu einer anderen Breite g, so benutzen die Kapitäne zum Berechnen der Distanz von A nach B weder die untere Breite b noch die obere Breite g - die eine ist ihnen zu klein, die andere (schon) zu groß. Sie benutzen vielmehr die "Mittelbreite" (b + g) / 2. 
Dies tat auch Gerhard Mercator : er begann seine Konstruktion bei 0.5° und ging  nach 1.5°, 2.5°, usw. fort. Da er einen Grundkreis von 315 mm Radius wählte, erhielt der Äquatorbogen von 10° gerade die Größe von 55 mm, wie sie auch auf den originalen Karten von 1569 noch heute - bei winzigen Meßfehlern um l bis 2 Zehntelmillimeter - nachzumessen ist.